Zadanie 3: Obliczyć pole koła wpisanego w trójkąt, którego boki tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 4.
Rozwiązanie:
Pole koła wyraża się wzorem
, gdzie
r jest promieniem koła, mamy zatem obliczyć promień koła r.
Oznaczmy przez a jeden z boków trójkąta prostokątnego.
(Koło
wpisujemy w trójkąt w ten sposób, że środek koła jest punktem przecięcia się
dwusiecznych kątów trójkąta.)
Mamy sytuację jak na poniższym rysunku
Kolejne boki trójkąta a , a + 4, a + 8 tworzą
ciąg arytmetyczny. Zauważmy, że bok CB o długości a + 8
jest równy sumie boków CE i EB. Ponieważ środek
okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem, w którym przecinają się dwusieczne
kątów trójkąta, to trójkąty CSF i CES mają równe kąty i równe boki,
zatem bok CF równy a -r jest równy bokowi
CE, podobnie trójkąty EBS i SBD mają równe boki i kąty,
zatem
bok bok DB równy a + 4
- r jest równy bokowi EB, czyli ponieważ
,
to
