Supermatma.pl

Zadanie 3:  Ile wyrazów ma ciąg arytmetyczny, którego wyrazy spełniają następujący układ równań:

                  .
Rozwiązanie:

Ponieważ  ciąg jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to jego podciąg, ciąg jest również ciągiem arytmetycznym i jego różnica jest równa  2r. (Zauważmy, że jeśli, czyli , to )

Ponieważ sumę n pierwszych wyrazów ciągu wyrażamy wzorem postaci , gdzie a₁ jest pierwszym wyrazem ciągu, a_n jest n-tym wyrazem ciągu, to sumę n pierwszych wyrazów ciągu   obliczamy ze wzoru postaci , gdzie  a₁ jest pierwszym wyrazem ciągu, a_2n-1 ostatnim wyrazem ciągu. (Zauważmy, że ciąg ma n wyrazów) Wracając do układu równań mamy

Zatem

Z drugiego równania wstawiamy a₁ + a_2n-1 do pierwszego równania i otrzymujemy

Odpowiedź: Ciąg arytmetyczny , którego wyrazy spełniają układ równań ma 30 wyrazów.