Supermatma.pl

Zadanie 8: Obliczyć granicę .
Rozwiązanie:

Obliczając granicę wykorzystamy następujące twierdzenie

Twierdzenie: Jeśli ciąg (a_n) jest ciągiem o wyrazach dodatnich, czyli a_n > 0 dla n =1, 2, ... oraz , gdzie g ³ 0, to

Ciąg (a_n) jest postaci ,

zatem

Korzystając z definicji n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1, czyli n! = n * (n-1)!, otrzymujemy

Zatem policzymy granicę , w tym celu wykorzystamy wzór , jeśli .

Przekształcamy ciąg do postaci, w której będziemy mogli skorzystać z powyższego wzoru. Szukamy takiego x dla którego

.

Czyli

 .

Zatem

Czyli

Korzystając ze wzoru  , jeśli otrzymujemy

Zatem

Czyli na mocy przytoczonego na początku rozwiązania zadania twierdzenia mamy