Supermatma.pl

MATEMATYKA

WITAMY W SERWISIE |




Zadanie 6:  Wykazać, że dla każdego x > 0 spełniona jest nierówność .
Rozwiązanie: 
Poprzednie zadanie
Poprzednie zadanie

Przenosząc wszystkie składniki nierówności na jedną stronę konstruujemy funkcję . Zauważmy, że . Jeśli wykażemy, że funkcja jest rosnąca, czyli dla osiągnie najmniejszą wartość na przedziale
[0, ), to otrzymamy, że i nierówność będzie udowodniona.
().

Funkcja   będzie rosnąca jeśli jej pochodna będzie przyjmowała tylko wartości dodatnie, czyli gdy . Policzmy zatem f (x),

Zatem  dla x , czyli funkcja jest rosnąca, w przedziale [0, ) najmniejszą wartość osiąga dla . Ponieważ , to .

Czyli co należało udowodnić.


 © Copyright 2009 by Supermatma.pl. Wszelkie prawa zastrzeżone.