Supermatma.pl

MATEMATYKA

WITAMY W SERWISIE |




 
Zadanie 9: Wykazać, że dla każdego x > 0 spełniona jest nierówność .

Rozwiązanie: 
Poprzednie zadanie
Dalej

Przenosząc wszystkie składniki nierówności na jedną stronę konstruujemy funkcję

. Zauważmy, że . Jeśli wykażemy, że funkcja jest rosnąca, czyli dla osiągnie najmniejszą wartość na przedziale (0, +1), to otrzymamy, że i nierówność będzie udowodniona.

Funkcja   będzie rosnąca jeśli jej pochodna będzie przyjmowała tylko wartości dodatnie, czyli gdy . Policzmy zatem , korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej mamy

.

Zbadajmy znak pochodnej, w tym celu podstawmy za otrzymujemy


 © Copyright 2009 by Supermatma.pl. Wszelkie prawa zastrzeżone.